2けたの自然数があります。十の位の数をa、一の位の数をbとするとき、この自然数と…
2けたの自然数があります。十の位の数をa、一の位の数をbとするとき、この自然数と、十の位と一の位を入れかえてできる2けたの自然数との和は、必ず11の倍数になります。その理由の説明として正しいものはどれか。
- ⑴ 和は11abとなり、11×abと表せるから。aとbをかけており、位ごとの数を足した式になっていません。
- ⑵ 和は10a＋10bとなり、10（a＋b）と表せるから。一の位の数を足し忘れており、和の式が違っています。
- ⑶ 和は11a＋11bとなり、11（a＋b）と表せるから。和が11と整数の積の形になるので、必ず11の倍数になります。
- ⑷ 和は9a－9bとなり、9（a－b）と表せるから。2つの数の差を求めたときの式で、和の式ではありません。
解説
正解は⑶です。十の位がa、一の位がbの2けたの自然数は10a＋bと表せます。位を入れかえた数は10b＋aです。この2つの和は、（10a＋b）＋（10b＋a）＝11a＋11b＝11（a＋b）となります。a＋bは整数ですから、和は11と整数の積、すなわち11の倍数です。文字を使うと、どの2けたの数についても成り立つことをまとめて示せます。
AIが生成したオリジナル問題です。実際の試験問題ではありません。