フーリエ変換は、式F（u） ∫∞ f（x）ei2 uxdx で表される。＝⁻ π…
フーリエ変換は、式F（u） ∫∞ f（x）ei2 uxdx で表される。＝⁻ π－∞この式の核関数であるe⁻i2πuxはEuler〈オイラー〉の公式を用いるとどのように書けるか。ただし、u：空間周波数、x：位置、f（x）：空間関数、F（u）：f（x）のフーリエ変換、i：虚数単位とする。
- ⑴ cos（2πux）＋sin（2πux）虚数単位iが抜けており、オイラーの公式の形になっていません。実部と虚部を区別する必要があります。
- ⑵ cos（2πux）－sin（2πux）符号は正しいものの虚数単位iが抜けています。虚部にはiが付かなければなりません。
- ⑶ cos（2πux）＋isin（2πux）これはe^{＋i2πux}にあたり、指数の符号が逆です。逆フーリエ変換の核関数の形になっています。
- ⑷ cos（2πux）－isin（2πux）オイラーの公式にθ＝－2πuxを代入し、cosの偶関数性とsinの奇関数性を使うとこの形になります。正しい表現です。
- ⑸ cos（－2πux）－isin（－2πux）整理するとcos（2πux）＋isin（2πux）となり、⑶と同じくe^{＋i2πux}を表します。符号が逆です。
解説
正解は⑷です。オイラーの公式e^{iθ}＝cosθ＋isinθにθ＝－2πuxを代入すると、e^{－i2πux}＝cos（－2πux）＋isin（－2πux）となります。cosは偶関数なのでcos（－θ）＝cosθ、sinは奇関数なのでsin（－θ）＝－sinθですから、これを整理するとcos（2πux）－isin（2πux）になります。虚数単位iが虚部に付くこと、そして符号がマイナスになることの二点が要点で、iを落とした形や符号を取り違えた形はいずれも誤りになります。
出典：厚生労働省ホームページ（https://www.mhlw.go.jp/seisakunitsuite/bunya/kenkou_iryou/iryou/topics/tp240424-06.html）を加工して作成